《二次根式教案優(yōu)秀17篇》

二次根式是指形如√a的數(shù)學表達式，其中a是非負實數(shù)或非負的整式。

數(shù)學二次根式教案 1

一、學習目標：

1.多項式除以單項式的運算法則及其應用。

2.多項式除以單項式的運算算理。

二、重點難點：

重點：多項式除以單項式的運算法則及其應用

難點：探索多項式與單項式相除的運算法則的過程

三、合作學習：

(一)回顧單項式除以單項式法則

(二)學生動手，探究新課

1.計算下列各式：

(1)(am+bm)÷m (2)(a2+ab)÷a (3)(4x2y+2xy2)÷2xy.

2.提問：①說說你是怎樣計算的②還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

(三) 總結(jié)法則

1.多項式除以單項式：先把這個多項式的每一項除以___________，再把所得的商______

2.本質(zhì)：把多項式除以單項式轉(zhuǎn)化成______________

四、精講精練

例：(1)(12a3-6a2+3a)÷3a; (2)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y);

(3)[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x (4)(-6a3b3+ 8a2b4+10a2b3+2ab2)÷(-2ab2)

隨堂練習：教科書練習

五、小結(jié)

1、單項式的除法法則

2、應用單項式除法法則應注意：

A、系數(shù)先相除，把所得的結(jié)果作為商的系數(shù)，運算過程中注意單項式的系數(shù)飽含它前面的符號

B、把同底數(shù)冪相除，所得結(jié)果作為商的因式，由于目前只研究整除的情況，所以被除式中某一字母的指數(shù)不小于除式中同一字母的指數(shù)；

C、被除式單獨有的字母及其指數(shù)，作為商的一個因式，不要遺漏；

D、要注意運算順序，有乘方要先做乘方，有括號先算括號里的，同級運算從左到右的順序進行。

E、多項式除以單項式法則

第三十四學時：14.2.1平方差公式

一、學習目標：

1.經(jīng)歷探索平方差公式的。過程。

2.會推導平方差公式，并能運用公式進行簡單的運算。

二、重點難點

重點：平方差公式的推導和應用

難點：理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，靈活應用平方差公式。

三、合作學習

你能用簡便方法計算下列各題嗎？

(1)20xx×1999 (2)998×1002

導入新課：計算下列多項式的積。

(1)(x+1)(x-1) (2)(m+2)(m-2)

(3)(2x+1)(2x-1) (4)(x+5y)(x-5y)

結(jié)論：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。

即：(a+b)(a-b)=a2-b2

四、精講精練

例1：運用平方差公式計算：

(1)(3x+2)(3x-2) (2)(b+2a)(2a-b) (3)(-x+2y)(-x-2y)

例2：計算：

(1)102×98 (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)

隨堂練習

次根式教案 2

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1、內(nèi)容

二次根式的概念。

2、內(nèi)容解析

本節(jié)課是在學生學習了平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、立方根，知道開方與乘方互為逆運算的基礎上，來學習二次根式的概念。 它不僅是對前面所學知識的綜合應用，也為后面學習二次根式的性質(zhì)和四則運算打基礎。

教材先設置了三個實際問題，這些問題的結(jié)果都可以表示成二次根式的形式，它們都表示一些正數(shù)的算術(shù)平方根，由此引出二次根式的定義。 再通過例1討論了二次根式中被開方數(shù)字母的取值范圍的問題，加深學生對二次根式的定義的理解。

本節(jié)課的教學重點是:了解二次根式的概念；

二、目標和目標解析

1、教學目標

（1）體會研究二次根式是實際的需要。

（2）了解二次根式的概念。

2、 教學目標解析

（1）學生能用二次根式表示實際問題中的數(shù)量和數(shù)量關(guān)系，體會研究二次根式的必要性。

（2）學生能根據(jù)算術(shù)平方根的意義了解二次根式的概念，知道被開方數(shù)必須是非負數(shù)的理由，知道二次根式本身是一個非負數(shù)，會求二次根式中被開方數(shù)字母的取值范圍。

三、教學問題診斷分析

對于二次根式的定義，應側(cè)重讓學生理解 “ 的雙重非負性，”即被開方數(shù) ≥0是非負數(shù)， 的算術(shù)平方根 ≥0也是非負數(shù)。教學時注意引導學生回憶在實數(shù)一章所學習的有關(guān)平方根的意義和特征，幫助學生理解這一要求，從而讓學生得出二次根式成立的條件，并運用被開方數(shù)是非負數(shù)這一條件進行二次根式有意義的判斷。

本節(jié)課的教學難點為:理解二次根式的雙重非負性。

四、教學過程設計

1、創(chuàng)設情境，提出問題

問題1你能用帶有根號的的式子填空嗎？

（1）面積為3 的正方形的邊長為_______，面積為S 的正方形的邊長為_______.

（2）一個長方形圍欄，長是寬的2 倍，面積為130m?，則它的寬為______m.

（3）一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間 t（單位:s）與開始落下的高度h（單位:m）滿足關(guān)系 h =5t?，如果用含有h 的式子表示 t ，則t= _____.

師生活動:學生獨立完成上述問題，用算術(shù)平方根表示結(jié)果，教師進行適當引導和評價。

【設計意圖】讓學生在填空過程中初步感知二次根式與實際生活的緊密聯(lián)系，體會研究二次根式的必要性。

問題2 上面得到的式子 ， ， 分別表示什么意義？它們有什么共同特征？

師生活動:教師引導學生說出各式的意義，概括它們的共同特征:都表示一個非負數(shù)（包括字母或式子表示的非負數(shù)）的算術(shù)平方根。

【設計意圖】為概括二次根式的概念作鋪墊。

2、抽象概括，形成概念

問題3 你能用一個式子表示一個非負數(shù)的算術(shù)平方根嗎？

師生活動:學生小組討論，全班交流。教師由此給出二次根式的定義:一般地，我們把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”稱為二次根號。

【設計意圖】讓學生體會由特殊到一般的過程，培養(yǎng)學生的概括能力。

追問:在二次根式的概念中，為什么要強調(diào)“a≥0”？

師生活動:教師引導學生討論，知道二次根式被開方數(shù)必須是非負數(shù)的理由。

【設計意圖】進一步加深學生對二次根式被開方數(shù)必須是非負數(shù)的理解。

3、辨析概念，應用鞏固

例1 當 時怎樣的實數(shù)時， 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

師生活動:引導學生從概念出發(fā)進行思考，鞏固學生對二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)的理解。

例2 當 是怎樣的實數(shù)時， 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？ 呢？

師生活動:先讓學生獨立思考，再追問。

【設計意圖】在辨析中，加深學生對二次根式被開方數(shù)為非負數(shù)的理解。

問題4 你能比較 與0的大小嗎？

師生活動:通過分 和 這兩種情況的討論，比較 與0的大小，引導學生得出 ≥0的結(jié)論，強化學生對二次根式本身為非負數(shù)的理解，

【設計意圖】通過這一活動的設計，提高學生對所學知識的遷移能力和應用意識；培養(yǎng)學生分類討論和歸納概括的能力。

4、綜合運用，鞏固提高

練習1 完成教科書第3頁的練習。

練習2 當x 是什么實數(shù)時，下列各式有意義。

（1） ；(2) ；(3) ；(4) 。

【設計意圖】 辨析二次根式的概念，確定二次根式有意義的條件。

【設計意圖】設計有一定綜合性的題目，考查學生的靈活運用的能力，開闊學生的視野，訓練學生的思維。

5、總結(jié)反思

教師和學生一起回顧本節(jié)課所學主要內(nèi)容，并請學生回答以下問題。

（1）本節(jié)課你學到了哪一類新的式子？

（2）二次根式有意義的條件是什么？二次根式的值的范圍是什么？

（3）二次根式與算術(shù)平方根有什么關(guān)系？

師生活動:教師引導，學生小結(jié)。

【設計意圖】:學生共同總結(jié)，互相取長補短，再一次突出本節(jié)課的學習重點，掌握解題方法。

6、布置作業(yè):

教科書習題16.1第1，3，5， 7，10題。

五、目標檢測設計

1、 下列各式中，一定是二次根式的是( )

A. B. C. D.

【設計意圖】考查對二次根式概念的了解，要特別注意被開方數(shù)為非負數(shù)。

2、 當 時，二次根式 無意義。

【設計意圖】考查二次根式無意義的條件，即被開方數(shù)小于0，要注意審題。

3、當 時，二次根式 有最小值，其最小值是 。

【設計意圖】本題主要考查二次根式被開方數(shù)是非負數(shù)的靈活運用。

4、對于 ，小紅根據(jù)被開方數(shù)是非負數(shù)，得 出的取值范圍是 ≥ 。小慧認為還應考慮分母不為0的情況。?

【設計意圖】考查二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)和一個式子的分母不能為0，解題時需要綜合考慮。

次根式教案 3

教學重點

二次根式混合運算算理的理解。

教學難點：

類比整式運算準確快速的進行二次根式的混合運算。

教學過程：

一、情境誘導

二、練習指導

(學生完成練習提綱，可以討論，老師做必要的板書準備，然后巡回指導，了解情況。)

三、展示歸納

1、學生匯報解題過程，生說師寫；

2、發(fā)動其他學生評價補充完善；

3、師畫龍點睛強調(diào)：

(1)二次根式混合運算的運算順序跟有理數(shù)運算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加減。

(2)二次根式混合運算與整式的運算有很多相似之處，因此可類比整式的運算進行二次根式的混合運算。

四、變式練習

(先讓學生獨立完成，老師做必要的板書準備后巡回指導，了解情況； 然后讓有一定問題的學生匯報展示，發(fā)動學生評價完善，老師強調(diào)關(guān)鍵地方，總結(jié)思想方法。）

五、小結(jié)

本節(jié)課你有哪些收獲？還有什么要提醒同學們注意的。（學生總結(jié)，百花齊放，老師不做限定，沒說到的，老師補充。）

六、布置作業(yè)

《二次根式混合運算習題課》

《二次根式》教學教案 4

一、說教材

首先談一談我對教材的理解。本節(jié)課選自人教版八年級下冊，主要探究二次根式加減法的計算方法。此前學生在學習二次根式的性質(zhì)和乘除法時都有過化簡二次根式的經(jīng)歷，為本節(jié)課的學習做了良好的鋪墊；本節(jié)課的學

二、說學情

再來談談學生的情況。這一階段的學生已經(jīng)具備了一定的發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，邏輯思維和計算能力也有了很大的提升。因此教師在教學過程中，要針對學生的特點進行有針對的教學，以便于課程內(nèi)容的有效展開。

三、說教學目標

基于以上分析，我制定了如下三維教學目標：

（一）知識與技能

掌握二次根式加減法的計算方法，并能用以解決簡單問題。

（二）過程與方法

通過探究二次根式加減法的計算方法的過程，進一步感受由特殊到一般的思想，提升運算能力。

（三）情感、態(tài)度與價值觀

感受數(shù)學和生活息息相關(guān)，提升學習數(shù)學的興趣。

四、說教學重難點

在教學目標的實現(xiàn)過程中，教學重點是二次根式加減法的計算方法，教學難點是二次根式加減法的計算方法的探究。

五、說教法學法

現(xiàn)代教學理論認為，在教學過程中，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者、合作者。根據(jù)這一教學理念，本節(jié)課我將采用講授法、練習法、小組合作探究等教學方法。

六、說教學過程

下面重點談談我對教學過程的設計。

（一）導入新課

此時我會請學生嘗試總結(jié)二次根式加減法的計算方法。以學生的現(xiàn)有能力，能夠說出其中的關(guān)鍵內(nèi)容。我會在此基礎上予以規(guī)范：一般地，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并。

以上活動使得學生親身經(jīng)歷了知識的形成過程，更容易理解和接受，同時能夠提升分析問題、解決問題與類比遷移等諸多方面的能力。

（三）課堂練習

對于本節(jié)課而言，探究計算方法是其中一項目標，鞏固練習也同樣重要。我會選用教材上的例1和例2作為課堂練習題。

例1的第(1)小題是兩個具體的二次根式相減，相對簡單，直接考查二次根式加減法的計算方法；第(2)小題二次根式的被開方數(shù)中含有字母，更加具有一般性，在一定程度上考驗抽象思維。

例2第(1)小題難度有所提升，不僅二次根式相對復雜，而且是加減混合運算；第(2)小題更是在加減混合運算的基礎上出現(xiàn)了小括號，并且各括號內(nèi)部無法合并，因此多了一個去括號的步驟。

這樣的練習題不僅進一步完善了二次根式加減法的計算方法，而且能讓學生體會到二次根式的加減與整式的加減在流程上的一致性，從而建立新舊知識間的聯(lián)系，完善知識體系。

（四）小結(jié)作業(yè)

最后，我會請學生自主總結(jié)本節(jié)課的收獲，在鍛煉學生的總結(jié)與表達能力的同時獲得教學反饋。

課后作業(yè)一方面是完成課后練習，再次鞏固二次根式的加減法；另一方面是總結(jié)二次根式的概念、性質(zhì)及運算法則，以便形成系統(tǒng)的認知。

次根式教案 5

一、學習目標：

1、多項式除以單項式的運算法則及其應用。

2、多項式除以單項式的運算算理。

二、重點難點：

重點：多項式除以單項式的運算法則及其應用

難點：探索多項式與單項式相除的運算法則的過程

三、合作學習：

（一）回顧單項式除以單項式法則

（二）學生動手，探究新課

1、計算下列各式：

（1）(am+bm)÷m (2)(a2+ab)÷a (3)(4x2y+2xy2)÷2xy.

2、提問：①說說你是怎樣計算的②還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

（三） 總結(jié)法則

1、多項式除以單項式：先把這個多項式的每一項除以___________，再把所得的商______

2、本質(zhì)：把多項式除以單項式轉(zhuǎn)化成______________

四、精講精練

例：(1)(12a3-6a2+3a)÷3a; (2)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)；

（3）[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x (4)(-6a3b3+ 8a2b4+10a2b3+2ab2)÷(-2ab2)

隨堂練習：教科書練習

五、小結(jié)

1、單項式的除法法則

2、應用單項式除法法則應注意：

A、系數(shù)先相除，把所得的結(jié)果作為商的系數(shù)，運算過程中注意單項式的系數(shù)飽含它前面的符號

B、把同底數(shù)冪相除，所得結(jié)果作為商的因式，由于目前只研究整除的情況，所以被除式中某一字母的指數(shù)不小于除式中同一字母的指數(shù)；

C、被除式單獨有的字母及其指數(shù)，作為商的一個因式，不要遺漏；

D、要注意運算順序，有乘方要先做乘方，有括號先算括號里的，同級運算從左到右的順序進行。

E、多項式除以單項式法則

第三十四學時：14.2.1平方差公式

一、學習目標：

1、經(jīng)歷探索平方差公式的過程。

2、會推導平方差公式，并能運用公式進行簡單的運算。

二、重點難點

重點：平方差公式的推導和應用

難點：理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，靈活應用平方差公式。

三、合作學習

你能用簡便方法計算下列各題嗎？

(1)2001×1999 (2)998×1002

導入新課：計算下列多項式的積。

（1）(x+1)(x-1) (2)(m+2)(m-2)

（3）(2x+1)(2x-1) (4)(x+5y)(x-5y)

結(jié)論：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。

即：(a+b)(a-b)=a2-b2

四、精講精練

例1：運用平方差公式計算：

（1）(3x+2)(3x-2) (2)(b+2a)(2a-b) (3)(-x+2y)(-x-2y)

例2：計算：

(1)102×98 (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)

隨堂練習

次根式教案 6

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1．內(nèi)容

二次根式的概念。

2．內(nèi)容解析

本節(jié)課是在學生學習了平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、立方根，知道開方與乘方互為逆運算的基礎上，來學習二次根式的概念。 它不僅是對前面所學知識的綜合應用，也為后面學習二次根式的性質(zhì)和四則運算打基礎。

教材先設置了三個實際問題，這些問題的結(jié)果都可以表示成二次根式的形式，它們都表示一些正數(shù)的算術(shù)平方根，由此引出二次根式的定義。 再通過例1討論了二次根式中被開方數(shù)字母的取值范圍的問題，加深學生對二次根式的定義的理解。

本節(jié)課的教學重點是：了解二次根式的概念；

二、目標和目標解析

1、教學目標

（1）體會研究二次根式是實際的需要．

（2）了解二次根式的概念．

2、 教學目標解析

（1）學生能用二次根式表示實際問題中的數(shù)量和數(shù)量關(guān)系，體會研究二次根式的必要性．

（2）學生能根據(jù)算術(shù)平方根的意義了解二次根式的概念，知道被開方數(shù)必須是非負數(shù)的理由，知道二次根式本身是一個非負數(shù)，會求二次根式中被開方數(shù)字母的取值范圍．

三、教學問題診斷分析

對于二次根式的定義，應側(cè)重讓學生理解 “ 的雙重非負性，”即被開方數(shù) ≥0是非負數(shù)， 的算術(shù)平方根 ≥0也是非負數(shù)。教學時注意引導學生回憶在實數(shù)一章所學習的有關(guān)平方根的意義和特征，幫助學生理解這一要求，從而讓學生得出二次根式成立的條件，并運用被開方數(shù)是非負數(shù)這一條件進行二次根式有意義的判斷。

本節(jié)課的教學難點為：理解二次根式的雙重非負性。

四、教學過程設計

1．創(chuàng)設情境，提出問題

問題1你能用帶有根號的的式子填空嗎？

（1）面積為3 的正方形的邊長為_______，面積為S 的正方形的邊長為_______．

（2）一個長方形圍欄，長是寬的2 倍，面積為130?，則它的寬為______．

（3）一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間 t（單位：s）與開始落下的高度h（單位：）滿足關(guān)系 h =5t?，如果用含有h 的式子表示 t ，則t= _____．

師生活動：學生獨立完成上述問題，用算術(shù)平方根表示結(jié)果，教師進行適當引導和評價。

【設計意圖】讓學生在填空過程中初步感知二次根式與實際生活的緊密聯(lián)系，體會研究二次根式的必要性．

問題2 上面得到的式子 ， ， 分別表示什么意義？它們有什么共同特征？

師生活動：教師引導學生說出各式的意義，概括它們的共同特征：都表示一個非負數(shù)（包括字母或式子表示的非負數(shù)）的算術(shù)平方根．

【設計意圖】為概括二次根式的概念作鋪墊．

2．抽象概括，形成概念

問題3 你能用一個式子表示一個非負數(shù)的算術(shù)平方根嗎？

師生活動：學生小組討論，全班交流．教師由此給出二次根式的定義：一般地，我們把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”稱為二次根號．

【設計意圖】讓學生體會由特殊到一般的過程，培養(yǎng)學生的概括能力．

追問：在二次根式的概念中，為什么要強調(diào)“a≥0”？

師生活動：教師引導學生討論，知道二次根式被開方數(shù)必須是非負數(shù)的理由．

【設計意圖】進一步加深學生對二次根式被開方數(shù)必須是非負數(shù)的理解．

3．辨析概念，應用鞏固

例1 當 時怎樣的實數(shù)時， 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

師生活動:引導學生從概念出發(fā)進行思考，鞏固學生對二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)的理解．

例2 當 是怎樣的實數(shù)時， 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？ 呢？

師生活動:先讓學生獨立思考，再追問．

【設計意圖】在辨析中，加深學生對二次根式被開方數(shù)為非負數(shù)的理解．

問題4 你能比較 與0的大小嗎？

師生活動：通過分 和 這兩種情況的討論，比較 與0的大小，引導學生得出 ≥0的結(jié)論，強化學生對二次根式本身為非負數(shù)的理解，

【設計意圖】通過這一活動的設計，提高學生對所學知識的遷移能力和應用意識；培養(yǎng)學生分類討論和歸納概括的能力。

4．綜合運用，鞏固提高

練習1 完成教科書第3頁的練習。

練習2 當x 是什么實數(shù)時，下列各式有意義。

（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。

【設計意圖】 辨析二次根式的概念，確定二次根式有意義的條件。

【設計意圖】設計有一定綜合性的題目，考查學生的靈活運用的能力，開闊學生的視野，訓練學生的思維。

5．總結(jié)反思

教師和學生一起回顧本節(jié)課所學主要內(nèi)容，并請學生回答以下問題。

（1）本節(jié)課你學到了哪一類新的式子？

（2）二次根式有意義的條件是什么？二次根式的值的范圍是什么？

（3）二次根式與算術(shù)平方根有什么關(guān)系？

師生活動：教師引導，學生小結(jié)。

【設計意圖】：學生共同總結(jié)，互相取長補短，再一次突出本節(jié)課的學習重點，掌握解題方法。

6．布置作業(yè)：

教科書習題16.1第1，3，5， 7，10題．

五、目標檢測設計

1、 下列各式中，一定是二次根式的是（ ）

A. B. C. D.

【設計意圖】考查對二次根式概念的了解，要特別注意被開方數(shù)為非負數(shù)．

2、 當 時，二次根式 無意義．

【設計意圖】考查二次根式無意義的條件，即被開方數(shù)小于0，要注意審題．

3、當 時，二次根式 有最小值，其最小值是 ．

【設計意圖】本題主要考查二次根式被開方數(shù)是非負數(shù)的靈活運用．

4、對于 ，小紅根據(jù)被開方數(shù)是非負數(shù)，得 出的取值范圍是 ≥ ．小慧認為還應考慮分母不為0的情況．? 20=22×5,所以正整數(shù)的最小值為5.）

6、（1)(x+）（x-) (2)n(n+）2（n-)2（解析:關(guān)鍵是逆用(）2=a(a≥0)將3變成（）2.（1）x2-3=(x+）（x-)。(2)n5-6n3+9n=n(n4-6n2+9)=n(n2-3)2=n(n+）2（n-)2.）

7、解:(1) 。 (2)寬:3 ；長:5 。

8、解:（1) =。 (2)(3)2=32×（）2=18. (3）=(-2)2×=。 (4)-=-=-3π。 (5) = =。

9、解:原式=-=-.∵x=6,∴x+1>0,x-8<0.∴原式=x+1-=x+1+x-8=2x-7=12-7=5.

10、解析:在利用=|a|=化簡二次根式時，當根號內(nèi)的因式移到根號外面時，一定要注意原來根號里面的符號，這也是化簡時最容易出錯的地方。

解:乙的解答是錯誤的。因為當a=時，=5,a-<0,所以 ≠a-,而應是 =-a.

本節(jié)課通過“觀察——歸納——運用”的模式，讓學生對知識的形成與掌握變得簡單起來，將一個一個知識點落實到位，適當增加了拓展性的練習，層層遞進，使不同的學生得到了不同的發(fā)展和提高。

在探究二次根式的性質(zhì)時，通過“提問——追問——討論”的形式展開，保證了活動有一定的針對性，但是學生發(fā)揮主體作用不夠。

在探究完成二次根式的性質(zhì)1后，總結(jié)學習方法，再放手讓學生自主探究二次根式的性質(zhì)2.既可以提高學習效率，又可以培養(yǎng)學生自學能力。

練習（教材第4頁）

1、解:（1)（）2=3. （2）(3)2=32×(）2=9×2=18.

2、解:(1)=0.3. (2) =。 (3)-=-π。 (4)=10-1=。

習題16.1（教材第5頁）

1、解:(1)欲使有意義，則必有a+2≥0,∴a≥-2,∴當a≥-2時，有意義。 (2)欲使有意義，則必有3-a≥0,∴a≤3,∴當a≤3時，有意義。 (3)欲使有意義，則必有5a≥0,∴a≥0,∴當a≥0時，有意義。 (4)欲使有意義，則必有2a+1≥0,∴a≥-,∴當a≥-時，有意義。

2、解:（1)（）2=5. （2）(-)2=（）2=0.2. （3）=。 (4)(5)2=52×（）2=25×5=125. (5）==10. (6)=72×=49×=14. (7) =。 (8)- =- =-.

3、解:(1)設圓的半徑為R,由圓的面積公式得S=πR2,所以R2=，所以R=± 。因為圓的半徑不能是負數(shù)，所以R=-不符合題意，舍去，故R= ，即面積為S的圓的半徑為 。 (2)設較短的邊長為2x,則它的鄰邊長為3x.由長方形的面積公式得2x3x=S,所以x=±，因為x=-不符合題意，舍去，所以x=，所以2x=2=，3x=3=，即這個長方形的相鄰兩邊的長分別為和。

4、解:（1)32. (2)（）2. （3）（）2. (4）0.52. (5)。 (6)02.

5、解:由題意可知πr2=π22+π32,∴r2=13,∴r=±。∵r=-不符合題意，舍去，∴r=，即r的值是。

6、解:設AB=x,則AB邊上的高為4x,由題意，得x4x=12,則x2=6,∴x=±?！選=-不符合題意，舍去，∴x=。故AB的長為。

7、解:(1)∵x2+1>0恒成立，∴無論x取任何實數(shù)，都有意義。 (2)∵(x-1)2≥0恒成立，∴無論x取任何實數(shù)，都有意義。 (3)∵即x>0,∴當x>0時， 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義。 (4)∵即x>-1,∴當x>-1時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義。

8、解:設h=t2, 則由題意，得20=×22,解得=5,∴h=5t2,∴t= （負值已舍去）。當h=10時，t= =，當h=25時，t= =。故當h=10和h=25時，小球落地所用的時間分別為 s和 s.

9、解:(1)由題意知18-n≥0且為整數(shù)，則n≤18,n為自然數(shù)且為整數(shù)，∴符合條件的n的所有可能的值為2,9,14,17,18. (2)∵24n≥0且是整數(shù)，n為正整數(shù)，∴符合條件的n的最小值是6.

10、解:V=πr2×10,r= （負值已舍去），當V=5π時， r= =，當V=10π時，r= =1,當V=20π時，r= =。

如圖所示，根據(jù)實數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置，化簡:+。

〔解析〕 根據(jù)數(shù)軸可得出a+b與a-b的正負情況，從而可將二次根式化簡。

解:由數(shù)軸可得:a+b0,

∴+=|a-b|+|a+b|=a-b-(a+b)=-2b.

[解題策略] 結(jié)合數(shù)軸得出字母的取值范圍，再化簡二次根式，此題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。

已知a,b,c為三角形的三條邊，則+= 。

〔解析〕 根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，先判斷a+b-c與b-a-c的符號，再去根號、絕對值符號并化簡。因為a,b,c為三角形的三條邊，所以a+b-c>0,b-a-c<0,所以原式=(a+b-c)+[-(b-a-c)]=a+b-c-b+a+c=2a.故填2a.

[解題策略] 此類化簡問題要特別注意符號問題。

化簡:。

〔解析〕 題中并沒有明確字母x的取值范圍，需要分x≥3和x<3兩種情況考慮。

解:當x≥3時，=|x-3|=x-3;

當x<3時，=|x-3|=-(x-3)=3-x.

[解題策略] 化簡時，先將它化成|a|，再根據(jù)絕對值的意義分情況進行討論。

5

O

M

次根式教案 7

一、教學目標

1、使學生知道什么是最簡二次根式，遇到實際式子能夠判斷是不是最簡二次根式。

2、使學生掌握化簡一個二次根式成最簡二次根式的方法。

3、使學生了解把二次根式化簡成最簡二次根式在實際問題中的應用。

二、教學重點和難點

1、重點：能夠把所給的二次根式，化成最簡二次根式。

2、難點：正確運用化一個二次根式成為最簡二次根式的方法。

三、教學方法

通過實際運算的例子，引出最簡二次根式的概念，再通過解題實踐，總結(jié)歸納化簡二次根式的方法。

四、教學手段

利用投影儀。

五、教學過程

（一）引入新課

提出問題：如果一個正方形的面積是0.5㎡，那么它的邊長是多少？能不能求出它的近似值？了。這樣會給解決實際問題帶來方便。

（二）新課

由以上例子可以看出，遇到一個二次根式將它化簡，為解決問題創(chuàng)

這兩個二次根式化簡前后有什么不同，這里要引導學生從兩個方面考慮，一方面是被開方數(shù)的因數(shù)化簡后是否是整數(shù)了，另一方面被開方數(shù)中還有沒有開得盡方的因數(shù)。

總結(jié)滿足什么樣的條件是最簡二次根式。即：滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式：

1、被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式。

2、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。

例1 指出下列根式中的最簡二次根式，并說明為什么。

分析：

說明：這里可以向?qū)W生說明，前面兩小節(jié)化簡二次根式，就是要求化成最簡二次根式。前面二次根式的運算結(jié)果也都是最簡二次根式。

例2 把下列各式化成最簡二次根式：

說明：引導學生觀察例2題中二次根式的特點，即被開方數(shù)是整式或整數(shù)，再啟發(fā)學生總結(jié)這類題化簡的方法，先將被開方數(shù)或被開方式分解因數(shù)或分解因式，然后把開得盡方的因數(shù)或因式開出來，從而將式子化簡。

例3 把下列各式化簡成最簡二次根式：

說明：

1、引導學生觀察例題3中二次根式的特點，即被開方數(shù)是分數(shù)或分式，再啟發(fā)學生總結(jié)這類題化簡的方法，先利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)把它寫成分式的形式，然后利用分母有理化化簡。

2、要提問學生

問題，通過這個小題使學生明確如何使用化簡中的條件。

通過例2、例3總結(jié)把一個二次根式化成最簡二次根式的兩種情況，并引導學生小結(jié)應該注意的問題。

注意：

①化簡時，一般需要把被開方數(shù)分解因數(shù)或分解因式。

②當一個式子的分母中含有二次根式時，一般應該把它化簡成分母中不含二次根式的式子，也就是把它的分母進行有理化。

（三）小結(jié)

1、滿足什么條件的根式是最簡二次根式。

2、把一個二次根式化成最簡二次根式的主要方法。

（四）練習

1、指出下列各式中的最簡二次根式：

2、把下列各式化成最簡二次根式：

新人教版八年級數(shù)學下冊二次根式教案 8

1、二次根式：式子 （ ≥0）叫做二次根式。

2、最簡二次根式：必須同時滿足下列條件：

⑴被開方數(shù)中不含開方開的盡的因數(shù)或因式； ⑵被開方數(shù)中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3、同類二次根式：

二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數(shù)相同，則這幾個二次根式就是同類二次根式。

4、二次根式的性質(zhì)：

（1)（ ）2= ( ≥0）； (2)

5、二次根式的運算：

（1）因式的外移和內(nèi)移：如果被開方數(shù)中有的因式能夠開得盡方，那么，就可以用它的算術(shù)根代替而移到根號外面；如果被開方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先解因式，變形為積的形式，再移因式到根號外面，反之也可以將根號外面的正因式平方后移到根號里面。

（2）二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類二次根式。

（3)二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），將被開方數(shù)相乘（除），所得的積（商）仍作積(商）的被開方數(shù)并將運算結(jié)果化為最簡二次根式。

= ? (a≥0，b≥0)； (b≥0，a>0)。

（4）有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律及結(jié)合律，乘法對加法的分配律以及多項式的乘法公式，都適用于二次根式的運算。

【典型例題】

1、概念與性質(zhì)

例1下列各式1) ，

其中是二次根式的是_________（填序號）。

例2、求下列二次根式中字母的取值范圍

（1） ；(2)

例3、 在根式1) ，最簡二次根式是( )

A.1) 2) B.3) 4) C.1) 3) D.1) 4)

例4、已知：

例5、 （2009龍巖）已知數(shù)a，b，若 =b-a，則 ( )

A. a>b B. a2、二次根式的化簡與計算

例1. 將 根號外的a移到根號內(nèi)，得 ( )

A. ； B. - ； C. - ； D.

例2. 把(a-b)-1a-b 化成最簡二次根式

例3、計算：

例4、先化簡，再求值：

，其中a= ，b= 。

例5、如圖，實數(shù) 、 在數(shù)軸上的位置，化簡 ：

4、比較數(shù)值

（1）、根式變形法

當 時，①如果 ，則 ；②如果 ，則 。

例1、比較 與 的大小。

（2）、平方法

當 時，①如果 ，則 ；②如果 ，則 。

例2、比較 與 的大小。

（3）、分母有理化法

通過分母有理化，利用分子的大小來比較。

例3、比較 與 的大小。

（4）、分子有理化法

通過分子有理化，利用分母的大小來比較。

例4、比較 與 的大小。

（5）、倒數(shù)法

例5、比較 與 的大小。

（6）、媒介傳遞法

適當選擇介于兩個數(shù)之間的媒介值，利用傳遞性進行比較。

例6、比較 與 的大小。

（7）、作差比較法

在對兩數(shù)比較大小時，經(jīng)常運用如下性質(zhì)：

① ；②

例7、比較 與 的大小。

（8）、求商比較法

它運用如下性質(zhì)：當a>0，b>0時，則：

① ； ②

例8、比較 與 的大小。

5、規(guī)律性問題

例1. 觀察下列各式及其驗證過程：

， 驗證： ；

驗證: 。

（1）按照上述兩個等式及其驗證過程的基本思路，猜想 的變形結(jié)果，并進行驗證；

（2)針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n(n≥2，且n是整數(shù)）表示的等式，并給出驗證過程。

次根式教案 9

目 標

1． 熟練地運用二次根式的性質(zhì)化簡二次根式；

2． 會運用二次根式解決簡單的實際問題；

3． 進一步體驗二次根式及其運算的實際意義和應用價值。

教學設想

本節(jié)課的重點是：二次根式及其運算的實際應用；難點是：例7涉及多方面的知識和綜合運用，思路比較復雜。

教 學 程序 與 策 略

一、預習檢測：

1、解決節(jié)前問題：

如圖，架在消防車上的云梯AB長為15m，AD：BD=1 ：0.6，云梯底部離地面的距離BC為2m。你能求出云梯的頂端離地面的距離AE嗎？

歸納：

在日常生活和生產(chǎn)實際中，我們在解決一 些問題，尤其是涉及直角三角形邊長計算的問題時經(jīng)常用到二次根式及其運算。

二、合作交流：

1、：如圖，扶梯AB的坡比（BE與AE的長度之比）為1:0.8，滑梯CD的坡比為1:1.6，AE= 米，BC= CD。一男孩從扶梯走到滑梯的頂部，然后從滑梯滑下，他經(jīng)過了多少路程（結(jié)果要求先化簡，再取近似值，精確到0.01米）

讓學生有充分的時間閱讀問題，并結(jié)合圖形分析問題：（1）所求的路程實際上是哪些線段的和？哪些線段的長是已知的？哪些線段的長是未知的？它們之間有什么關(guān)系？（2）列出的算式中有哪些運算？能化簡嗎？

注意解題格式

教 學 程 序 與 策 略

三、鞏固練習：

完成課本P17、1，組長檢查反饋；

四、拓展提高：

1：如圖是一張等腰三角形彩色紙，AC=BC=40cm，將斜邊上的高CD四等分，然后裁出3張寬度相等的長方形紙條。（1）分別求出3張長方形紙條的長度。（2）若用這些紙條為一幅正方形美術(shù)作品鑲邊（紙條不重疊），如右圖，正方形美術(shù)作品的面積最大不能超過多少cm。

師生共同分析解題思路，請學生寫出解題過程。

五、課堂小結(jié)：

1、談一談：本節(jié)課你有什么收獲？

2、運用二次根式解決簡單的實際問題時應注意的的問題

六、堂堂清

1: 作業(yè)本（2）

2：課本P17頁：第4、5題選做。

《二次根式》教學教案 10

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1、內(nèi)容

二次根式的概念。

2、內(nèi)容解析

本節(jié)課是在學生學習了平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、立方根，知道開方與乘方互為逆運算的基礎上，來學習二次根式的概念。 它不僅是對前面所學知識的綜合應用，也為后面學習二次根式的性質(zhì)和四則運算打基礎。

教材先設置了三個實際問題，這些問題的結(jié)果都可以表示成二次根式的形式，它們都表示一些正數(shù)的算術(shù)平方根，由此引出二次根式的定義。 再通過例1討論了二次根式中被開方數(shù)字母的取值范圍的問題，加深學生對二次根式的定義的理解。

本節(jié)課的教學重點是：了解二次根式的概念；

二、目標和目標解析

1、教學目標

（1）體會研究二次根式是實際的需要。

（2）了解二次根式的概念。

2、 教學目標解析

（1）學生能用二次根式表示實際問題中的數(shù)量和數(shù)量關(guān)系，體會研究二次根式的必要性。

（2）學生能根據(jù)算術(shù)平方根的意義了解二次根式的概念，知道被開方數(shù)必須是非負數(shù)的理由，知道二次根式本身是一個非負數(shù)，會求二次根式中被開方數(shù)字母的取值范圍。

三、教學問題診斷分析

對于二次根式的定義，應側(cè)重讓學生理解 “ 的雙重非負性，”即被開方數(shù) ≥0是非負數(shù)， 的算術(shù)平方根 ≥0也是非負數(shù)。教學時注意引導學生回憶在實數(shù)一章所學習的有關(guān)平方根的意義和特征，幫助學生理解這一要求，從而讓學生得出二次根式成立的條件，并運用被開方數(shù)是非負數(shù)這一條件進行二次根式有意義的判斷。

本節(jié)課的教學難點為：理解二次根式的雙重非負性。

四、教學過程設計

1、創(chuàng)設情境，提出問題

問題1你能用帶有根號的的式子填空嗎？

（1）面積為3 的正方形的邊長為_______，面積為S 的正方形的邊長為_______。

（2）一個長方形圍欄，長是寬的2 倍，面積為130?，則它的寬為______。

（3）一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間 t（單位：s）與開始落下的高度h（單位：）滿足關(guān)系 h =5t?，如果用含有h 的式子表示 t ，則t= _____。

師生活動：學生獨立完成上述問題，用算術(shù)平方根表示結(jié)果，教師進行適當引導和評價。

【設計意圖】讓學生在填空過程中初步感知二次根式與實際生活的緊密聯(lián)系，體會研究二次根式的必要性。

問題2 上面得到的式子 ， ， 分別表示什么意義？它們有什么共同特征？

師生活動：教師引導學生說出各式的意義，概括它們的共同特征：都表示一個非負數(shù)（包括字母或式子表示的非負數(shù)）的算術(shù)平方根。

【設計意圖】為概括二次根式的概念作鋪墊。

2、抽象概括，形成概念

問題3 你能用一個式子表示一個非負數(shù)的算術(shù)平方根嗎？

師生活動：學生小組討論，全班交流。教師由此給出二次根式的定義：一般地，我們把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”稱為二次根號。

【設計意圖】讓學生體會由特殊到一般的過程，培養(yǎng)學生的概括能力。

追問：在二次根式的概念中，為什么要強調(diào)“a≥0”？

師生活動：教師引導學生討論，知道二次根式被開方數(shù)必須是非負數(shù)的理由。

【設計意圖】進一步加深學生對二次根式被開方數(shù)必須是非負數(shù)的理解。

3、辨析概念，應用鞏固

例1 當 時怎樣的實數(shù)時， 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

師生活動:引導學生從概念出發(fā)進行思考，鞏固學生對二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)的理解。

例2 當 是怎樣的實數(shù)時， 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？ 呢？

師生活動:先讓學生獨立思考，再追問。

【設計意圖】在辨析中，加深學生對二次根式被開方數(shù)為非負數(shù)的理解。

問題4 你能比較 與0的大小嗎？

師生活動：通過分 和 這兩種情況的討論，比較 與0的大小，引導學生得出 ≥0的結(jié)論，強化學生對二次根式本身為非負數(shù)的理解，

【設計意圖】通過這一活動的設計，提高學生對所學知識的遷移能力和應用意識；培養(yǎng)學生分類討論和歸納概括的能力。

4、綜合運用，鞏固提高

練習1 完成教科書第3頁的練習。

練習2 當x 是什么實數(shù)時，下列各式有意義。

（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。

【設計意圖】 辨析二次根式的概念，確定二次根式有意義的條件。

【設計意圖】設計有一定綜合性的題目，考查學生的靈活運用的能力，開闊學生的視野，訓練學生的思維。

5、總結(jié)反思

教師和學生一起回顧本節(jié)課所學主要內(nèi)容，并請學生回答以下問題。

（1）本節(jié)課你學到了哪一類新的式子？

（2）二次根式有意義的條件是什么？二次根式的值的范圍是什么？

（3）二次根式與算術(shù)平方根有什么關(guān)系？

師生活動：教師引導，學生小結(jié)。

【設計意圖】：學生共同總結(jié)，互相取長補短，再一次突出本節(jié)課的學習重點，掌握解題方法。

6。布置作業(yè)：

教科書習題16。1第1，3，5， 7，10題。

五、目標檢測設計

1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）

A。 B。 C。 D。

【設計意圖】考查對二次根式概念的了解，要特別注意被開方數(shù)為非負數(shù)。

2、 當 時，二次根式 無意義。

【設計意圖】考查二次根式無意義的條件，即被開方數(shù)小于0，要注意審題。

3、當 時，二次根式 有最小值，其最小值是 。

【設計意圖】本題主要考查二次根式被開方數(shù)是非負數(shù)的靈活運用。

4、對于 ，小紅根據(jù)被開方數(shù)是非負數(shù)，得 出的取值范圍是 ≥ 。小慧認為還應考慮分母不為0的情況。?

【設計意圖】考查二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)和一個式子的分母不能為0，解題時需要綜合考慮。

次根式教案 11

教學內(nèi)容

二次根式的加減

教學目標

知識與技能目標：理解和掌握二次根式加減的方法。

過程與方法目標：先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對二次根式進行加減的方法的理解。再總結(jié)經(jīng)驗，用它來指導根式的計算和化簡。

情感與價值目標：通過本節(jié)的學習培養(yǎng)學生：利用規(guī)定準確計算和化簡的嚴謹?shù)目茖W精神，發(fā)展學生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力。

重難點關(guān)鍵

1、重點：二次根式化簡為最簡根式。

2、難點關(guān)鍵：會判定是否是最簡二次根式。

教法：

1、引導發(fā)現(xiàn)法:通過教師精心設計的問題鏈，使學生產(chǎn)生認知沖突，感悟新知，建立分式的模型，引導學生觀察、類比、參與問題討論，使感性認識上升為理性認識，充分體現(xiàn)了教師主導和學生主體的作用，對實現(xiàn)教學目標起了重要的作用；

2、講練結(jié)合法:在例題教學中，引導學生閱讀，與同類項進行類比，獲得解決問題的`方法后配以精講，并進行分層練習，培養(yǎng)學生的閱讀習慣和規(guī)范的解題格式。

學法：

1、類比的方法通過觀察、類比，使學生感悟二次根式加減的模型，形成有效的學習策略。

2、閱讀的方法讓學生閱讀教材及材料，體驗一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內(nèi)交換，達到取長補短，體驗學習活動中的交流與合作。

4、練習法采用不同的練習法，鞏固所學的知識；利用教材進行自檢，小組內(nèi)進行他檢，提高學生的素質(zhì)。

知識點

自主檢測、同伴互查

1、師生共同解決“學法”問題與13頁“練習1”；

2、學生演板13頁“練習2、3”。

四、知識梳理、師生共議

1、談收獲：

（1）二次根式的加減法則是什么？有哪些運算步驟？

（2）怎樣合并被開方數(shù)相同的二次根式呢？

（3）二次根式進行加減運算時應注意什么問題？

2、說不足：。

五、作業(yè)訓練、鞏固提高

1、必做題：課本15頁的“習題2、3”；

課時練習

1、揭示學法、自主學習

認真閱讀課本14頁內(nèi)容，完成下列任務：

1、完成14頁“例3、4”，先做再對照：

（1）平方差公式__________，完全平方公式__________.

（2）每步的運算依據(jù)是什么？應注意什么問題？

（時間7分鐘若有困難，與同伴討論）

三、自主檢測、同伴互查

1、師生共同解決“學法”問題；

2、學生演板14頁“練習1、2”。

四、知識梳理、師生共議

1、談收獲：

（1）二次根式進行混合運算時運用了哪些知識？

（2）二次根式進行混合運算時應注意哪些問題？

次根式教案 12

教學目的：

1、在二次根式的混合運算中，使學生掌握應用有理化分母的方法化簡和計算二次根式；

2、會求二次根式的代數(shù)的值；

3、進一步提高學生的綜合運算能力。

教學重點：

在二次根式的混合運算中，靈活選擇有理化分母的方法化簡二次根式

教學難點：

正確進行二次根式的混合運算和求含有二次根式的代數(shù)式的值

教學過程：

一、二次根式的混合運算

例1 計算：

分析：

(1)題是二次根式的加減運算，可先把前三個二次根式化最簡二次根式，把第四式的分母有理化，然后再進行二次根式的加減運算。

(2)題是含乘方、加、減和除法的混合運算，應按運算的順序進行計算，先算括號內(nèi)的式子，最后進行除法運算。注意的計算。

練習1：P206 / 8--① P207 / 1①②

例2 計算

問：計算思路是什么？

答：先把第一人的括號內(nèi)的式子通分，把第二個括號內(nèi)的式子的分母有理化，再進行計算。

二、求代數(shù)式的值。 注意兩點：

(1)如果已知條件為含二次根式的式子，先把它化簡；

(2)如果代數(shù)式是含二次根式的式子，應先把代數(shù)式化簡，再求值。

例3 已知，求的值。

分析：多項式可轉(zhuǎn)化為用與表示的式子，因此可根據(jù)已知條件中的及的值。求得與的值。在計算中，先把及的式了有理化分母?？墒褂嬎愫啽?。

例4 已知，求的值。

觀察代數(shù)式的特點，請說出求這個代數(shù)式的值的思路。

答：所求的代數(shù)式中，相減的兩個式子的分母都含有二次根式，為化去它們的分母中的根號，可以分別先把各自的分母有理化或進行]通分，把這個代數(shù)式化簡后，再求值。

三、小結(jié)

1、對于二次根式的混合混合運算。應根據(jù)二次根式的加、減、乘除和乘方運算的順序進行，即先進行乘方運算，再進行乘、除運算，最后進行加、減運算。如果有括號，先進行括號內(nèi)的式子的運算，運算結(jié)果要化為最簡二次根式。

2、在代數(shù)式求值問題中，如果已知條件所求式子中有含二次根式(或分式)的式子，應先把它們化簡，然后再求值。

3、在進行二次根式的混合運算時，要根據(jù)題目特點，靈活選擇解題方法，目的在于使計算更簡捷。

次根式教案 13

教學目的

1、使學生掌握最簡二次根式的定義，并會應用此定義判斷一個根式是否為最簡二次根式；

2、會運用積和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把一個二次根式化為最簡二次根式。

教學重點

最簡二次根式的定義。

教學難點

一個二次根式化成最簡二次根式的方法。

教學過程

一、復習引入

1、把下列各根式化簡，并說出化簡的根據(jù)：

2、引導學生觀察考慮：

化簡前后的根式，被開方數(shù)有什么不同？

化簡前的`被開方數(shù)有分數(shù)，分式；化簡后的被開方數(shù)都是整數(shù)或整式，且被開方數(shù)中開得盡方的因數(shù)或因式，被移到根號外。

3、啟發(fā)學生回答：

二次根式，請同學們考慮一下被開方數(shù)符合什么條件的二次根式叫做最簡二次根式？

二、講解新課

1、總結(jié)學生回答的內(nèi)容后，給出最簡二次根式定義：

滿足下列兩個條件的二次根式叫做最簡二次根式：

(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；

(2)被開方數(shù)中不含能開得盡的因數(shù)或因式。

最簡二次根式定義中第(1)條說明被開方數(shù)不含有分母；分母是1的例外。第(2)條說明被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)小于2；特別注意被開方數(shù)應化為因式連乘積的形式。

2、練習：

下列各根式是否為最簡二次根式，不是最簡二次根式的說明原因：

3、例題：

例1 把下列各式化成最簡二次根式：

例2 把下列各式化成最簡二次根式：

4、總結(jié)

把二次根式化成最簡二次根式的根據(jù)是什么？應用了什么方法？

當被開? 因數(shù)或因式用它的算術(shù)平方根代替移到根號外面去。

當被開方數(shù)是分數(shù)或分式時，根據(jù)分式的基本性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)化去分母。

此方法是先根據(jù)分式的基本性質(zhì)把被開方數(shù)的分母化成能開得盡方的因式，然后分子、分母再分別化簡。

三、鞏固練習

1、把下列各式化成最簡二次根式：

2、判斷下列各根式，哪些是最簡二次根式？哪些不是最簡二次根式？如果不是，把它化成最簡二次根式。

次根式教案 14

教案

教法：

1、引導發(fā)現(xiàn)法：通過教師精心設計的問題鏈，使學生產(chǎn)生認知沖突，感悟新知，建立分式的模型，引導學生觀察、類比、參與問題討論，使感性認識上升為理性認識，充分體現(xiàn)了教師主導和學生主體的作用，對實現(xiàn)教學目標起了重要的作用；

2、講練結(jié)合法：在例題教學中，引導學生閱讀，與平方根進行類比，獲得解決問題的方法后配以精講，并進行分層練習，培養(yǎng)學生的閱讀習慣和規(guī)范的解題格式。

學法：

1、類比的方法通過觀察、類比，使學生感悟二次根式的模型，形成有效的學習策略。

2、閱讀的方法讓學生閱讀教材及材料，體驗一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內(nèi)交換，達到取長補短，體驗學習活動中的交流與合作。

4、練習法采用不同的練習法，鞏固所學的知識；利用教材進行自檢，小組內(nèi)進行他檢，提高學生的素質(zhì)。

知識點

上節(jié)課我們認識了什么是二次根式，那么二次根式有什么性質(zhì)呢？本節(jié)課我們一起來學習。

二、展示目標，自主學習：

自學指導：認真閱讀課本第3頁——4頁內(nèi)容，完成下列任務：

1、請比較與0的大小，你得到的結(jié)論是：________________________。

2、完成3頁“探究”中的填空，你得到的結(jié)論是____________________。

3、看例2是怎樣利用性質(zhì)進行計算的。

4、完成4頁“探究”中的填空，你得到的結(jié)論是：____________________。

5 、看懂例3，有困難可與同伴交流或問老師。

課時作業(yè)

教師節(jié)要到了，為了表示對老師的敬意，小明做了兩張大小不同的正方形壁畫準備送給老師，其中一張面積為800 cm2，另一張面積為450 cm2，他想如果再用金彩帶把壁畫的邊鑲上會更漂亮，他現(xiàn)在有1.2 m長的金彩帶，請你幫助算一算，他的金彩帶夠用嗎？如果不夠，還需買多長的金彩帶？（≈1.414，結(jié)果保留整數(shù)）

次根式教案 15

一、素質(zhì)教育目標

（一）知識教學點

1、使學生了解最簡二次根式的概念和同類二次根式的概念。

2、能判斷二次根式中的同類二次根式。

3、會用同類二次根式進行二次根式的加減。

（二）能力訓練點

通過本節(jié)的學習，培養(yǎng)學生的思維能力并提高學生的運算能力。

（三）德育滲透點

從簡單的同類二次根式的合并，層層深入，從解題的過程中，讓學生體會轉(zhuǎn)化的思維，滲透辯證唯物主義思想。

（四）美育滲透點

通過二次根式的加減，滲透二次根式化簡合并后的形式簡單美。

二、學法引導

1、教師教法引導法、比較法、剖析法，在比較和剖析中，不斷糾正錯誤，從而樹立牢固的計算方法。

2、學生學法通過不斷的練習，從中體會、比較、二次根式加減法中，正確的方法使用，并注重小結(jié)出二次根式加減法的法則。

三、重點·難點·疑點及解決辦法

1、教學重點二次根式的加減法運算。

2、教學難點二次根式的化簡。

3、疑點及解決辦法二次根式的加減法的關(guān)鍵在于二次根式的化簡，在適當復習二次根的化簡后進行一步引入幾個整式加減法的，以引起學生的求知欲與興趣，從而最后引入同類二次根式的加減法，可進行階梯式教學，由淺到深、由簡單到復雜的教學方法，以利于學生的理解、掌握和運用，通過具體例題的計算，可由教師引導，由學生總結(jié)出計算的步驟和注意的問題，還可以通過反例，讓學生去偽存真，這種比較法的教學可使學生對概念的理解、法則的運用更加準確和熟練，并能提高學生的學習興趣，以達到更好的學習效果。

四、課時安排

2課時

五、教具學具準備

投影片

六、師生互動活動設計

1、復習最簡二根式整式及的加減運算，引入二次根式的加減運算，盡量讓學生回答問題。

2、教師通過例題的示范讓學生了解什么是二次根式的加減法，并引入同類的二次根式的定義。

3、再通過較復雜的。二次根式的加減法計算，引導學生小結(jié)歸納出二次根式的加減法的法則。

4、通過學生的反復訓練，發(fā)現(xiàn)問題及時糾正，并引導學生從解題過程中體會理解二次根式加減法的實質(zhì)及解決的方法。

七、教學步驟

（一）明確目標

學習二次根式化簡的目的是為了能將一些最終能化為同類二次根式項相合并，從而達到化繁為簡的目的，本節(jié)課就是研究二次根式的加減法。

（二）整體感知

同類二次根式的概念應分二層含義去理解（1）化簡后（2）被開方數(shù)還相同、通過正確理解二次根式加減法的法則來準確地實施二次根式加減法的運算，應特別注意合并同類二次根式時僅將它們的系數(shù)相加減，根式一定要保持不變，并可對比整式的加減法則以增加對合并同類二次根式的理解，增強綜合運算的能力。

次根式教案 16

一、教學過程

（一）復習提問

1．什么叫二次根式？

2．下列各式是二次根式，求式子中的字母所滿足的條件：

（3）∵x取任何值都有2x2≥0，所以2x2+1＞0，故x的取值為任意實數(shù)．

（二）二次根式的簡單性質(zhì)

上節(jié)課我們已經(jīng)學習了二次根式的定義，并了解了第一個簡單性質(zhì)

我們知道，正數(shù)a有兩個平方根，分別記作零的平方根是零。引導學生總結(jié)出，其中，就是一個非負數(shù)a的算術(shù)平方根。將符號看作開平方求算術(shù)平方根的運算，看作將一個數(shù)進行平方的運算，而開平方運算和平方運算是互為逆運算，因而有：

這里需要注意的是公式成立的條件是a≥0，提問學生，a可以代表一個代數(shù)式嗎？

請分析：引導學生答如時才成立。

時才成立，即a取任意實數(shù)時都成立。

我們知道

如果我們把，同學們想一想是否就可以把任何一個非負數(shù)寫成一個數(shù)的平方形式了．

例1計算：

分析：這個例題中的四個小題，主要是運用公式。其中（2）、（3）、（4）題又運用了整式乘除中學習的積的冪的運算性質(zhì)．結(jié)合第（2）小題中的，說明，這與帶分數(shù)。因此，以后遇到，應寫成，而不宜寫成。

例2把下列非負數(shù)寫成一個數(shù)的平方的形式：

（1）5；（2）11；（3）1。6；（4）0。35．

例3把下列各式寫成平方差的形式，再分解因式：

（1）4x2—1；（2）a4—9；

（3）3a2—10；（4）a4—6a2+9．

解：（1）4x2—1

=（2x）2—12

=（2x+1）（2x—1）．

（2）a4—9

=（a2）2—32

=（a2+3）（a2—3）

（3）3a2—10

（4）a4—6a2+32

=（a2）2—6a2+32

=（a2—3）2

（三）小結(jié)

1．繼續(xù)鞏固二次根式的定義，及二次根式中被開方數(shù)的取值范圍問題．

2．關(guān)于公式的應用。

（1）經(jīng)常用于乘法的運算中．

（2）可以把任何一個非負數(shù)寫成一個數(shù)的平方的形式，解決在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解等方面的問題．

（四）練習和作業(yè)

練習：

1．填空

注意第（4）題需有2m≥0，m≥0，又需有—3m≥0，即m≤0，故m=0．

2．實數(shù)a、b在數(shù)軸上對應點的位置如下圖所示：

分析：通過本題滲透數(shù)形結(jié)合的思想，進一步鞏固二次根式的定義、性質(zhì)，引導學生分析：由于a＜0，b＞0，且｜a｜＞｜b｜．

3．計算

二、作業(yè)

教材P．172習題11．1；A組2、3；B組2．

補充作業(yè)：

下列各式中的字母滿足什么條件時，才能使該式成為二次根式？

分析：要使這些式成為二次根式，只要被開方式是非負數(shù)即可，啟發(fā)學生分析如下：

（1）由—｜a—2b｜≥0，得a—2b≤0，

但根據(jù)絕對值的性質(zhì)，有｜a—2b｜≥0，

∴｜a—2b｜=0，即a—2b=0，得a=2b．

（2）由（—m2—1）（m—n）≥0，—（m2+1）（m—n）≥0

∴（m2+1）（m—n）≤0，又m2+1＞0，

∴ m—n≤0，即m≤n．

說明：本題求解較難些，但基本方法仍是由二次根式中被開方數(shù)（式）大于或等于零列出不等式．通過本題培養(yǎng)學生對于較復雜的題的分析問題和解決問題的能力，并且進一步鞏固二次根式的概念．

三、板書設計